Решение логических задач
Как решать логические задачи?
Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:
- средствами алгебры логики;
- табличный;
- с помощью рассуждений.
Познакомимся с ними поочередно.
I. Решение логических задач средствами алгебры логики
Обычно используется следующая схема решения:
- изучается условие задачи;
- вводится система обозначений для логических высказываний;
- конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
- определяются значения истинности этой логической формулы;
- из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.
Задача №1
Следователь допрашивает Клода, Жака и Дика. Клод утверждает, что Жак лжет, Жак обвинял во лжи Дика, а Дик призывает не слушать ни того, ни другого. Кто из допрашиваемых говорил правду?
Решение:
Пусть показания свидетелей будут назваться буквами К, Ж и Д. Тогда известно, что:
Выразим эти высказывания на формальном языке логики:
Задача будет решена, если все три высказывания будут истинны, т.е. истинна их конъюнкция:
II. Решение логических задач табличным способом
При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц.
|
Увлечение |
Девочка |
||||
|
Маша |
Оля |
Лена |
Валя |
||
|
Музыкальный инструмент |
Рояль |
|
|
|
|
|
Скрипка |
|
|
|
|
|
|
Виолончель |
|
|
|
|
|
|
Арфа |
|
|
|
|
|
|
Иностранный язык |
Французский |
|
|
|
|
|
Немецкий |
|
|
|
|
|
|
Английский |
|
|
|
|
|
|
Итальянский |
|
|
|
|
|
Маша, Оля, Лена и Валя играют на одном из музыкальных инструментов и говорят на одном из иностранных языков. Инструменты и языки у них разные. Маша играет на рояле. Девочка, которая говорит по-французски, играет на скрипке. Оля играет на виолончели. Маша не знает итальянского языка, а Оля не владеет английским. Лена не играет на арфе, а виолончелистка не говорит по-итальянски. Определите , на каком инструменте играет каждая из девочек и каким иностранным языком она владеет.
Составим таблицу:
1. Маша играет на рояле, значит она не играет на других инструментах, а её пордуги не играют на рояле.
|
Увлечение |
Девочка |
||||
|
Маша |
Оля |
Лена |
Валя |
||
|
Музыкальный инструмент |
Рояль |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
Скрипка |
0 |
|
|
|
|
|
Виолончель |
0 |
|
|
|
|
|
Арфа |
0 |
|
|
|
|
|
Иностранный язык |
Французский |
|
|
|
|
|
Немецкий |
|
|
|
|
|
|
Английский |
|
|
|
|
|
|
Итальянский |
|
|
|
||
3. Девочка, которая говорит по-французски, играет на скрипке. Значит Маша не говорит по-французски.
4. Оля играет на виолончели, значит, она не играет на других инструментах и тоже не говорит по-французски. Остальные девочки не играют на виолончели.
|
Увлечение |
Девочка |
||||
|
Маша |
Оля |
Лена |
Валя |
||
|
Музыкальный инструмент |
Рояль |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
Скрипка |
0 |
0 |
|
|
|
|
Виолончель |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
Арфа |
0 |
0 |
|
|
|
|
Иностранный язык |
Французский |
0 |
0 |
|
|
|
Немецкий |
|
|
|
|
|
|
Английский |
|
|
|
|
|
|
Итальянский |
|
|
|
|
|
5. Маша не знает итальянского языка, а Оля не владеет английским.
|
Увлечение |
Девочка |
||||
|
Маша |
Оля |
Лена |
Валя |
||
|
Музыкальный инструмент |
Рояль |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
Скрипка |
0 |
0 |
|
|
|
|
Виолончель |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
Арфа |
0 |
0 |
|
|
|
|
Иностранный язык |
Французский |
0 |
0 |
|
|
|
Немецкий |
|
|
|
|
|
|
Английский |
|
0 |
|
|
|
|
Итальянский |
0 |
|
|
|
|
6. Лена не играет на арфе, значит на арфе играет Валя, следовательно, она не знает французского. Получается, что на скрипке играет Лена и говорит по-французски.
7.а виолончелистка не говорит по-итальянски. Так как Оля играет на виолончели, значит она не говорит на итальянском, следовательно она говорит по-немецки. На итальянском говорит Валя, а Маша говорит на английском.
|
Увлечение |
Девочка |
||||
|
Маша |
Оля |
Лена |
Валя |
||
|
Музыкальный инструмент |
Рояль |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
Скрипка |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
Виолончель |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
Арфа |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
Иностранный язык |
Французский |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
Немецкий |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
Английский |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
Итальянский |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
III. Решение логических задач с помощью рассуждений
Этим способом обычно решают несложные логические задачи.
Задача 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
Решение. Имеется три утверждения:
- Вадим изучает китайский.
- Сергей не изучает китайский.
- Михаил не изучает арабский.
Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.
Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.
Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.
Ответ. Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.