Основные понятия алгебры логики
Основоположник современной формальной логики – Аристотель, т.к. он впервые отделил форму мышления от его содержания.
Формальная логика – наука, пытавшаяся найти ответ на вопрос, как мы рассуждаем, изучающая логические операции и правила мышления.
Основоположник математической логики – нем.математик, философ Вильгельм Лейбниц (XVII в.). Первый пытался построить логические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические; высказал мысль о возможности применения двоичной СС в вычислительной математике.
Дальнейшее развитие его идеи получили лишь в XIXв. В трудах математика Джорджа Буля, отца писательницы Э. Войнич. Он вывел для логических построений особую алгебру – алгебру логики, раздел математики, занимающийся исследованием логических функций.
Логика – наука о формах мышления, учение о способах рассуждений и доказательств.
Мышление осуществляется через понятия, высказывания (суждения, утверждения) и умозаключения.
Понятие – форма мышления, фиксирующая основные существенные признаки объекта.
Имеет две стороны: содержание и объем.
Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. Для раскрытия содержания понятия необходимо и достаточно перечислить все качества объекта, по которым его можно однозначно идентифицировать
Объем понятия – количество объектов, на которое распространяются указанные свойства.
Содержание понятия компьютер:
- Устройство для автоматизированной обработки информации
- Построено на основе микропроцессора
- Имеет устройства ввода/вывода
Объем понятия компьютер – миллиарды единиц компьютерной техники по всему миру
Алгебра логики — это раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями.
Высказывание — это повествовательное предложение, относительного которого можно однозначно сказать истинное оно или ложное.
В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями:
- Земля вращается вокруг Солнца.
- Москва - столица.
Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием:
- Это высказывание ложное.
Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.
- Без стука не входить!
- Откройте учебники.
- Ты выучил стихотворение?
Если связь понятий, на которых построено высказывание, правильно отражают свойства и отношения реальных вещей, то такое высказывание истинно
Высказывание, противоречащее реальной действительности – ложное.
Упражнение:
- Делайте утреннюю зарядку!
- Назовите устройства ввода/вывода информации.
- Кто отсутствует?
- Париж – столица Англии
- Число 11 является простым
- 4 + 5 = 10
- Без труда не вытащишь и рыбку из пруда
- Некоторые медведи живут на севере
- Все медведи – бурые
- Чему равно расстояние от Москвы до Питера?
- Треугольник АВС подобен треугольнику MNK
- 2 + 2 -5
- Студент механико-математического факультета
Суждение является простым если никакая его часть не является суждением. Например: «Париж – столица России». (простое, ложное)
Составное высказывание — это высказывание, состоящее из нескольких простых, связанных
между собой логическими операциями (связками).
Пример:
A = {Сейчас идет дождь}.
B = {Форточка открыта}.
|
А и В А или не В Если А, то В не А и В А тогда и только тогда, когда В |
Сейчас идет дождь и форточка открыта Сейчас идет дождь или форточка не открыта Если идет дождь, то форточка открыта Сейчас не идет дождь и форточка открыта Дождь идет тогда и только тогда, когда форточка открыта |
Истинность высказываний
- Простых: в результате соглашений на основе здравого смысла
- Сложных: в результате вычислений по формулам алгебры высказываний
Умозаключение – форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (предпосылок, условий) выводится новое суждение (заключение, вывод).
Логика позволяет строить абстрактные модели реальных объектов, не отвлекаясь на их содержание.
Логические переменные – простые высказывания, содержащие только одну мысль.
Обозначаются буквами латинского алфавита:
A, B, C…
Логические переменные могут принимать лишь два значения: «ИСТИНА» (1) или «ЛОЖЬ» (0)
Например, два простых высказывания:
А = «2 ´ 2 = 4» истина (1)
В = «2 ´ 2 = 5» ложь (0)
являются логическими переменными А и В
В алгебре высказываний над логическими переменными (над высказываниями) можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые высказывания.